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5 cosas que deberías saber sobre los números reales

¿Qué son los números reales? Básicamente, son cualquier número que pueda usar para medir una distancia, incluidos todos los positivos, negativos y cero, tanto enteros como fraccionarios. Prácticamente cualquier número que se te ocurra, 8, -5, 3/4, -9.21523, √ 2 , π ("pi"), son todos números reales.

Entonces, ¿cómo se ve un número no real? Bueno, lo creas o no, en realidad hay números imaginarios, y hablaremos de todo eso a continuación.

¡Y ahora exploremos las cinco cosas principales que debes saber sobre los números reales en matemáticas!

Mientras que π es definitivamente real, la "unidad imaginaria" i no es un número real.

1. Los números reales incluyen números enteros, racionales e irracionales
Ok, primero hablemos de cómo los matemáticos clasifican los números.

Números naturales:

Los números de conteo habituales, 1, 2, 3, 4, 5... se llaman números naturales.

¡Los números naturales son, bueno, naturales! Son los primeros conceptos en matemáticas que los niños pequeños aprenden. Ayudaron a nuestros ancestros lejanos a realizar un seguimiento de la cantidad de ovejas y cabras que poseían, y facilitaron el comercio. Su número de calle es (probablemente) un número natural, como lo es su número de teléfono. ¡Están a nuestro alrededor!

Tan simples como son los números naturales, tienen una propiedad sorprendente: ¡nunca terminan! No hay un número natural "mayor". En el lenguaje de las matemáticas, decimos que el conjunto de números naturales (y, por lo tanto, el conjunto de números reales) es infinito.

Hacia el abismo: negativos y cero.

Cuando comience a contar cosas más abstractas como el dinero, es posible que los números naturales no sean suficientes.

Por ejemplo, suponga que tiene una cuenta bancaria con 100€. Puede considerar este depósito como un registro de que el banco le debe 100€.

Todos los días, usa su tarjeta bancaria para comprar el almuerzo por 10€. Hagamos un seguimiento del dinero en su cuenta día a día.

100, 90, 80, 70, 60...

¿Entiendes hacia donde deriva, verdad? Hasta ahora, podemos representar la cantidad de dinero usando números naturales.

Sin embargo, ¿qué sucede después de diez días de comprar el almuerzo? ¡Su estómago puede estar lleno, pero su cuenta bancaria está vacía! Todos los 100 euros se han ido, sin dejar nada en su cuenta bancaria. Representamos esa "nada" como el número 0.

Entonces, ¿qué sucede si decides pasar tu tarjeta al día siguiente en el buffet? Sin dinero en el banco, entonces le deberías al banco 10€. Y en lugar de ver una buena cantidad natural de euros en su balance general, verá: 10€, dependiendo de cómo el banco decida registrarlo. Felicidades: tu saldo ahora es negativo.

Entonces, la conclusión es que necesitábamos números especiales como 0 y números negativos para ayudar a medir ciertos tipos de cantidades como ganancias y pérdidas.

Los números naturales, sus negativos y cero constituyen el conjunto de enteros.

Lectura entre líneas: números racionales e irracionales.

Los enteros son bastante buenos para hacer un seguimiento de cosas individuales como ovejas o euros. Pero no son tan buenos con longitudes y distancias.

Si alguna vez ha construido algo de madera, sabe que los cortes deben ser muy precisos. ¿Qué pasa si quieres que las patas de la mesa midan un poco más de 1 metro? ¿Qué es un "poquito"? Sin una manera de medir con precisión las fracciones de un metro, ¡ninguna de las cuatro patas de la mesa coincidirían en longitud!

Hace mucho tiempo, los carpinteros resolvieron ese problema dividiendo sus medidas en fracciones cada vez más pequeñas. Las décimas son una parte fraccionaria de un metro. 

Del mismo modo, hay números fraccionarios que existen entre dos enteros. De hecho, la línea numérica está llena de ellos. Entre dos fracciones existe otra fracción.

El conjunto de todos los números enteros y fraccionarios entre ellos comprende el conjunto de números racionales .

¡Pero aún no hemos terminado! Incluso los números racionales no cubren todo.

Por ejemplo, considere un triángulo rectángulo cuya base y altura tengan una unidad de longitud. El teorema de Pitágoras nos dice que la hipotenusa (lado largo) debe tener √ 2 unidades de largo.

Se puede demostrar (probar) que √ 2 no es igual a ninguna fracción de números enteros. En otras palabras, este número no es parte del conjunto de números racionales.

Cualquier número en la recta numérica que no sea racional se llama irracional.

¡Todos juntos ahora!

Entonces ahora podemos responder la pregunta, ¿qué son los números reales?

Un número real es cualquier número que mide una longitud, incluidos sus negativos y cero (0).

El conjunto de números reales se divide en dos tipos: racional e irracional.


2. La recta numérica contiene todos los números reales (y nada más)

Si definimos números reales como números que miden la longitud, entonces, naturalmente, obtenemos una interpretación geométrica del conjunto de reales.

Cada número real puede ser representado por un punto en una recta numérica continua. Por el contrario, cada punto en la recta numérica corresponde a un número real particular.

De hecho, ¡puedes pensar en la recta numérica completa (o recta numérica real ) como una representación gráfica de absolutamente todos los números reales que existen!

3. Cada número real tiene una representación decimal:

Cada número real puede ser representado por una cadena numérica de dígitos, posiblemente continuando para siempre. Esto se llama la representación decimal del número.

Los enteros, como 3, -2, 0, 42 y -5658142235 ya están en su representación decimal. Sin embargo, a veces un número entero se disfraza en otras formas. Por ejemplo, 10^6 es un número entero, pero debe expandirlo para obtener su forma decimal: 10^6 = 1000000.

Los números racionales también tienen representaciones decimales. Pero debe usar un punto decimal si el número no es entero.

Por ejemplo, el número 1/20 es un número real que resulta ser racional. Como decimal, 1/20 = 0,05. A eso lo llamamos un decimal final.

El número real -4/3 (también racional) tiene una representación decimal repetitiva : -1,33333 ... = -1,3.

Las reales a menudo tienen representaciones decimales que no terminan ni caen en ningún patrón repetitivo. Por ejemplo, 3,1415926 ... es una representación decimal sin terminación para el número real π.

4. Los números reales pueden hacer aritmética.

Puedes hacer muchas cosas geniales con números reales.

Dados dos números reales, x e y , su suma x + y también es un número real. Su diferencia x - y , y su producto x · y también son números reales.

El cociente , x / y de dos reales es un número real siempre que y ≠ 0. Por otro lado, x / 0 no es real; de hecho, la división por 0 no está definida en matemáticas.

También puedes tomar potencias de números reales. Sin embargo, debes tener mucho cuidado con las raíces.

Cualquier raíz de un número real positivo o cero da como resultado un número real.

Pero, √ -9 no es un número real. En cambio, √ -9 = 3 i , que es un número imaginario .

Esto nos lleva a nuestro último hecho importante.

5. Hay números que no son reales.

Debe estar dispuesto a pensar fuera de la caja, o al menos fuera de la línea numérica, si desea encontrar números que no sean reales.

Mencioné anteriormente que incluso las raíces de los reales negativos se llaman números imaginarios. En particular, el número imaginario más famoso es i, que se define como la raíz cuadrada de -1. No hay ningún punto en la recta numérica correspondiente a i. Simplemente vive en su propio universo (¡Técnicamente, los números imaginarios están en su propia línea numérica que existe en ángulo recto con la línea numérica real!)

Cualquier otro número imaginario es solo un múltiplo de i. Entonces, 3 i , -6.52 i , y π i , son todos imaginarios. Sin embargo, tenga cuidado: 0i es real, porque 0i = 0.

Un número complejo es cualquier suma de un número real y un número imaginario. Es decir, cualquier cosa de la forma a + bi , donde a y b son reales.

Los números complejos no son reales, a menos que b = 0.

Tiende a ver números complejos al resolver algunas ecuaciones cuadráticas. Pero también surgen en otros lugares de las matemáticas. De hecho, juegan un papel importante en la física, en las áreas de electromagnetismo, física de partículas, y la lista continúa.

Resumen:

Y así, aquí están sus cinco datos de números reales principales una vez más.

  • Los números reales incluyen números enteros, racionales e irracionales.
  • La recta numérica contiene todos los números reales y nada más.
  • Cada número real tiene una representación decimal.
  • Los números reales pueden hacer aritmética.
  • Hay números que no son reales (imaginarios, complejos).


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