Paradojas que te hacen pensar

El hotel infinito de Hilbert, la paradoja del cumpleaños, la paradoja del barbero, la paradoja de los gemelos y el asno de Buridán, son sin duda, cinco de las paradojas que más te harán pensar.

EL HOTEL INFINITO DE HILBERT:


Esta paradoja es una creación del matemático alemán David Hilbert. Este concepto abstracto, de manera simple e intuitiva, explica hechos paradójicos relacionados con el concepto matemático de infinito.

Imagina un hotel con un número infinito de habitaciones, lleno de infinitos huéspedes. Entonces llega un hombre en busca de una habitación disponible, el recepcionista sabe que el hotel está lleno, pero también sabe que eso no es un problema, toma un micrófono y avisa a todos los huéspedes que por favor revisen el número de su habitación, le sumen uno y se cambien a ese número de habitación, (el que está en la uno pasa a la dos, el de la dos a la tres...) De este modo, el nuevo huésped puede dormir en la habitación número uno.


Pero ahora llegan al hotel infinitos turistas, en busca de una habitación para cada uno, el recepcionista no tiene ningún problema en aceptar a los nuevos turistas, cogió el micrófono y pidió a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su habitación actual (el de la habitación numero uno pasó a la dos, el de lados a la cuatro...) Todos los huéspedes se mudaron a una habitación par, y todas las habitaciones impares quedaron libres. Como hay infinitos números impares, los infinitos turistas pudieron alojarse sin ningún problema en las habitaciones de números impares.

Pero... ¿Qué pasó con el huésped que se encontraba en la última habitación? Sencillamente no hay última habitación. En el hotel infinito siempre hay una habitación disponible para quien la solicite.

PARADOJA DEL CUMPLEAÑOS:


En una reunión de 23 personas totalmente aleatorias, la probabilidad de que dos de ellas cumplan los años el mismo día es de 50,7%.

El resultado no es una paradoja matemática, es un hecho científico de fácil demostración.

Usando factoriales podemos calcularlo fácilmente. 


Donde n, es el número de personas y p, es la probabilidad de que no haya dos personas que cumplan años el mismo día. Es decir, en un grupo de n personas, la probabilidad de que dos personas cumplan los años el mismo día es:


Con n=22 obtenemos una probabilidad de 47,5%. Con n=23 una probabilidad de 50,07%. Con n=25, estamos ya en 56,87%.

Y  si aumentamos un poco más el número de personas:
Para n=30, la probabilidad es de 70,63%.
Para n=35, la probabilidad es de 81,44%.
Para n=40, la probabilidad es de 89,12%.
Para n=45, la probabilidad es de 94,098%.
Para n=50, la probabilidad es de 97,04%.
Para n=60, la probabilidad es de 99,41%.


A partir de un grupo con más de 60 personas la probabilidad de que dos cumplan año el mismo día es casi del 100%.

PARADOJA DE LOS GEMELOS:


Imagina un coche en marcha por la carretera a una cierta velocidad, si lanzamos una pelota desde el coche en la misma dirección y sentido, la velocidad de la pelota será la velocidad de lanzamiento más la velocidad que llevase el coche. Pero con la luz no ocurre lo mismo, siempre viaja a la misma velocidad. (3·108 m/s)

La paradoja de los gemelos, propuesta por Einstein, es un experimento mental que analiza la distinta percepción del tiempo entre dos observadores con diferentes estados de movimiento.

Explicación:

Como muestra el nombre de la paradoja, los protagonistas son dos hermanos gemelos, uno de ellos realiza un viaje por el espacio a una velocidad cercana a la de la luz, mientras tanto, el otro hermano gemelo, se queda en la Tierra. Cuando el hermano gemelo que viajó regresa a la Tierra, este es mucho más joven que el hermano gemelo que se quedó en la Tierra.


Esto sucede por que nuestra percepción del tiempo es distinta a velocidades diferentes. 

Pero la paradoja surge cuando desde la perspectiva del gemelo que va dentro de la nave hacia el espacio, el que se está alejando, es el gemelo que está en la Tierra y, por tanto, su hermano en la Tierra sería quien tendría que envejecer menos por moverse respecto de él a velocidades cercanas a la de la luz. Con lo cual, el gemelo de la nave es quien tendría que envejecer más rápido.

Más tarde, cuando Einstein formuló la teoría de la relatividad general, demostró que es el gemelo de la Tierra quien envejece más deprisa.

EL ASNO DE BURIDÁN:


La paradoja del asno de Buridán debe su nombre al filósofo francés Jean Buridán, pero no fue originada por Buridán sino por Aristóteles, donde el uso de la lógica, no puede hallar una solución en una situación con opciones en igualdad de condiciones.

Imagina un asno con un pensamiento puramente lógico, si tiene sed bebe, si tiene hambre come... Pero un día, dicho asno es colocado a la misma distancia de dos montones iguales de heno, entonces el asno se verá incapaz de tomar una decisión racional, dado que ambos montones están a la misma distancia, no sabrá hacia que montón ir, con lo cual, el asno ante la indecisión acabaría muriendo de hambre.

La paradoja nos hace ver, que cuando no hay una razón suficiente para que una cosa suceda en vez de otra, entonces, no sucederá nada.

PARADOJA DEL BARBERO:

Bertrand Russell conoció la teoría de conjuntos en 1896, en ella, comenzó a pensar en una curiosa propiedad de los conjuntos, en concreto, en el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos, donde se plantea una curiosa paradoja.

Russell para explicarlo de una manera más sencilla, imaginó un pueblo con una ley que obliga al barbero a afeitar a todas las personas que no se afeitan a sí mismas ni a nadie más. Si os dais cuenta la propiedad afeitarse equivale a ser miembro de sí mismo. La paradoja surge cuando nos preguntamos ¿Quién afeita al barbero? Porque si se afeita a sí mismo, entonces pertenece al grupo de personas a las que no debe afeitar, pero de no hacerlo, significa que no puede afeitarse, lo cual está obligado bajo ley a afeitarse.

Haga lo que haga el barbero incumplirá la ley, el barbero está atrapado en una paradoja sin sentido.

Esta es exactamente la solución que propuso Russell a la paradoja allá por 1906. Es una paradoja que no tiene sentido, digamos que 'el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos' no es una definición válida. 

Es como preguntarse si un conjunto P de números pares es o no número par, es absurdo preguntárselo, dado que es una relación de pertenencia entre dos objetos del mismo tipo. Lo mismo ocurre con la paradoja, ser miembro de sí mismo es lógicamente incorrecto y así desaparece la paradoja.