No existen mapas perfectos de la Tierra.


Para plasmar en dos dimensiones la superficie de la Tierra no hay otra alternativa que deformar la realidad, por supuesto hablamos de diseñar un mapa perfecto desde el punto de vista métrico.

Explicación:

Tomemos un triángulo esférico formando por un arco de meridiano entre el Norte y el ecuador, otro arco similar formando un ángulo de  π/2 (90º) con el anterior y el arco de ecuador que conecta con los dos anteriores y que forma cada uno de ellos un ángulo de π/2, como muestra (en rojo) la imagen:




La suma de los ángulos de este triángulo esférico es 3π/2 (270º), y no π (180º), como estábamos esperando. En conclusión, no existen proyecciones de la esfera en el plano que preserven al mismo tiempo los ángulos y las geodésicas. Pero esto tiene una consecuencia muy importante, ya que nos permite afirmar que no existen isometrías de la esfera en el plano, es decir, no existen mapas perfectos.

Este resultado no es solamente global sino que también es local, es decir, tampoco es posible construir mapas perfectos de una pequeña parte de la superficie terrestre. Dicho de otra forma, no es posible construir isometrías locales de la esfera en un plano.

El globo terráqueo es la representación más perfecta de nuestro planeta. 
(Pero no llega a ser nunca perfecta.)